Faà di Bruno 公式

阐述

组合形式：

\frac{d^{n}}{d x^{n}} f(g(x))=(f \circ g)^{(n)}(x)=\sum_{\pi \in \Pi} f^{(|\pi|)}(g(x)) \cdot \prod_{B \in \pi} g^{(|B|)}(x)

展开形式：

\frac{d^{n}}{d x^{n}} f(g(x))=\sum \frac{n !}{m_{1} ! 1 !^{m_{1}} m_{2} ! 2 !^{m_{2}} \cdots m_{n} ! n !^{m_{n}}} \cdot f^{\left(m_{1}+\cdots+m_{n}\right)}(g(x)) \cdot \prod_{j=1}^{n}\left(g^{(j)}(x)\right)^{m_{j}}

其中 $(m_1,\cdots,m_n)$ 是一个整数分割。如果用除以阶乘的形式表示各项系数，则有如下公式：

\frac1{n!}\frac{d^{n}}{d x^{n}} f(g(x))=\sum \frac{f^{\left(m_{1}+\cdots+m_{n}\right)}(g(x))}{m_{1} ! m_{2} ! \cdots m_{n} !} \cdot \prod_{j=1}^{n}\left(\frac{g^{(j)}(x)}{j !}\right)^{m_{j}}

\frac{\partial^{n}}{\partial x_{1} \cdots \partial x_{n}} f(g(x))=\sum_{\pi \in \Pi} f^{(|\pi|)}(g(x)) \cdot \prod_{B \in \pi} \frac{\partial^{|B|} g}{\prod_{j \in B} \partial x_{j}}